Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Mathématiquement : a² + b² = c². C'est l'une des relations les plus utilisées en mathématiques et en sciences appliquées, et l'une des plus anciennes (connue des Babyloniens dès -1800).

Comment retrouver sin, cos, tan ?

Dans un triangle rectangle, en considérant un angle α (autre que l'angle droit) : sin(α) = côté opposé / hypoténuse, cos(α) = côté adjacent / hypoténuse, tan(α) = côté opposé / côté adjacent = sin(α) / cos(α). Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA. À retenir : sin² + cos² = 1 (identité trigonométrique fondamentale, conséquence directe de Pythagore).

Pourquoi Pythagore marche ?

Il y a plus de 400 démonstrations différentes. La plus visuelle : prenez un grand carré de côté (a+b). Sa surface vaut (a+b)². On peut le décomposer en 4 triangles rectangles de côtés a, b, c et un carré central de côté c. Donc (a+b)² = 4 × (ab/2) + c², soit a² + 2ab + b² = 2ab + c², donc a² + b² = c². CQFD. Cette démonstration géométrique est attribuée à Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.).

C'est quoi un triplet pythagoricien ?

Un trio d'entiers (a, b, c) qui satisfait a² + b² = c². Le plus connu : (3, 4, 5) — utilisé en bricolage pour vérifier qu'un mur est d'équerre. Autres : (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29). Il en existe une infinité. Tous les multiples d'un triplet primitif sont aussi des triplets : (6, 8, 10), (9, 12, 15), etc.

À quoi sert la trigonométrie au quotidien ?

Plus de domaines que vous ne pensez : (1) Construction et charpente (longueur des chevrons) ; (2) GPS (calcul de distance entre 2 coordonnées) ; (3) Écrans (la 'diagonale' annoncée — 55 pouces, 65 pouces — est l'hypoténuse calculée par Pythagore) ; (4) Navigation maritime et aérienne (route directe à vol d'oiseau) ; (5) Photographie (angle de champ d'un objectif) ; (6) Jeux vidéo et 3D (calcul des trajectoires, collisions) ; (7) Astronomie (parallaxe et distance des étoiles).

Différence entre Pythagore et la loi des cosinus ?

Pythagore ne marche QUE pour les triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, on utilise la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) : c² = a² + b² - 2ab × cos(C). Quand l'angle C vaut 90°, cos(90°) = 0, donc on retombe sur Pythagore : c² = a² + b². Pythagore est en fait un cas particulier d'Al-Kashi.

Et les fonctions trigo dans le cercle unité ?

Pour généraliser sin et cos au-delà des triangles rectangles, on les définit sur le cercle unité (rayon 1, centré à l'origine). Pour un point M sur le cercle correspondant à un angle α : cos(α) = abscisse de M, sin(α) = ordonnée de M. Ça permet d'avoir sin et cos pour tous les angles, y compris > 90° et < 0°. C'est la base de tous les phénomènes ondulatoires (son, lumière, électricité alternative, marées).

Sciences · Guide complet

Trigonométrie : Pythagore, sinus, cosinus, dans la vraie vie

Le théorème de Pythagore et les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan) sont parmi les outils mathématiques les plus utilisés au monde — souvent sans qu'on s'en rende compte. Ce guide vous explique les bases, démontre pourquoi ça marche, et — surtout — montre comment ces formules vieilles de 2 500 ans sont au cœur de la technologie moderne.

Mis à jour le 17 mai 2026 · Sources : Eduscol, CNRS · Lecture : 10 min

L'énoncé du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle — c'est-à-dire un triangle dont l'un des angles fait 90° — le côté opposé à cet angle droit est appelé hypoténuse. C'est toujours le plus long des trois côtés. Pythagore établit que :

a² + b² = c²

où c est l'hypoténuse et a, b les deux autres côtés. Le carré construit sur l'hypoténuse a donc la même aire que la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. C'est cette interprétation géométrique qui était fondamentale pour les Grecs anciens, qui pensaient les mathématiques en aires et non en nombres abstraits.

Histoire : de Babylone à Pythagore et au-delà

Contrairement à ce qu'on apprend souvent, Pythagore n'a pas inventé son théorème. Des tablettes babyloniennes datant de -1800 (soit ~1 300 ans avant Pythagore) montrent que le résultat était déjà connu et utilisé pour des calculs pratiques d'arpentage. La célèbre tablette Plimpton 322 (conservée à Columbia University) contient même une liste de triplets pythagoriciens organisés systématiquement.

Pythagore (ou plutôt son école, vers 530 av. J.-C.) a apporté quelque chose de fondamental : la première démonstration mathématique. Au lieu de constater empiriquement que 3² + 4² = 5², les pythagoriciens ont prouvé que cette relation était vraie pour tout triangle rectangle, par un raisonnement géométrique rigoureux.

Depuis, plus de 400 démonstrations différentes ont été proposées — par Euclide, Léonard de Vinci, le président américain James Garfield (oui, vraiment, en 1876), etc. C'est probablement le théorème le plus démontré de l'histoire des mathématiques.

Une démonstration géométrique simple

Prenons un grand carré de côté (a + b). Son aire vaut (a + b)² = a² + 2ab + b².

À l'intérieur, on peut placer 4 triangles rectangles identiques de côtés a, b et c. La place libre au centre forme un carré tilté de côté c. Son aire vaut c².

L'aire totale est donc aussi : 4 × (ab/2) + c² = 2ab + c².

En égalant les deux expressions : a² + 2ab + b² = 2ab + c². On simplifie le 2ab : a² + b² = c². QED.

Les triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers (a, b, c) tel que a² + b² = c². Le plus connu : (3, 4, 5). Vérification : 9 + 16 = 25 = 5². ✓

Autres triplets primitifs (non multiples d'un autre) classiques :

Triplet	Vérification
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625
(20, 21, 29)	400 + 441 = 841
(9, 40, 41)	81 + 1600 = 1681

Il existe une formule (attribuée à Euclide) qui permet de générer une infinité de triplets primitifs : si m et n sont deux entiers premiers entre eux avec m > n et l'un pair, l'autre impair, alors (m² − n², 2mn, m² + n²) est un triplet pythagoricien primitif.

L'astuce 3-4-5 du bricoleur

C'est l'application pratique la plus connue du théorème. Pour vérifier qu'un angle est exactement droit (90°) — par exemple, qu'un mur, une cloison ou un coffrage est d'équerre :

Mesurez exactement 3 m sur un côté à partir de l'angle
Mesurez exactement 4 m sur l'autre côté à partir du même angle
Mesurez la diagonale entre les deux points : elle doit faire exactement 5 m
Si la diagonale est moins de 5 m : l'angle est aigu (< 90°). Si plus : obtus (> 90°).

Marche avec n'importe quel multiple : 30-40-50 cm pour de la précision, 6-8-10 m ou 9-12-15 m pour de grandes structures. Cette méthode est utilisée par les maçons, les charpentiers et les arpenteurs depuis l'Antiquité.

Les fonctions trigonométriques : sin, cos, tan

Une fois qu'on a un triangle rectangle, on peut définir trois rapports entre ses côtés, qui dépendent uniquement des angles (pas de la taille du triangle).

Pour un angle α (différent de l'angle droit) dans le triangle rectangle :

sin(α) = côté opposé / hypoténuse
cos(α) = côté adjacent / hypoténuse
tan(α) = côté opposé / côté adjacent = sin(α) / cos(α)

Moyen mnémotechnique anglo-saxon (universellement utilisé) : SOH-CAH-TOA = Sine-Opposite-Hypotenuse, Cosine-Adjacent-Hypotenuse, Tangent-Opposite-Adjacent.

Valeurs remarquables à connaître

Angle	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	∞

L'identité trigonométrique fondamentale

Une formule à connaître par cœur : sin²(α) + cos²(α) = 1, pour tout angle α.

Démonstration immédiate par Pythagore : si on considère un triangle rectangle d'hypoténuse 1, alors sin = opposé/1 et cos = adjacent/1, donc sin² + cos² = (opposé² + adjacent²)/1 = hypoténuse²/1 = 1.

Cette identité est la base de toute la trigonométrie. Elle permet, connaissant le sin, de retrouver le cos (et inversement), et de simplifier des centaines de formules en physique et en ingénierie.

10 applications concrètes au quotidien

1. Diagonale d'un écran TV

Un écran 16:9 de résolution 1920×1080 px a une « diagonale » qui est l'hypoténuse du rectangle de l'écran. Pythagore : √(1920² + 1080²) ≈ 2 203 px. Si on connaît le pas de pixel, on en déduit la diagonale en pouces (les fameux 32", 55", 65"…).

2. Charpente et chevrons

Un toit traditionnel à deux pans a deux chevrons inclinés. Si la base mesure 8 m et la hauteur du faîte 3 m, chaque chevron mesure √((8/2)² + 3²) = √(16+9) = 5 m. Utile pour la commande de bois.

3. Distance à vol d'oiseau (GPS)

Pour de petites distances, on peut approximer la Terre comme plate. Si vous êtes à 3 km au sud et 4 km à l'est d'un point, la distance à vol d'oiseau est √(3² + 4²) = 5 km. Pour les grandes distances, il faut tenir compte de la courbure (formule de Haversine, plus complexe).

4. Navigation maritime et aérienne

Calcul des routes les plus directes, des temps de trajet en tenant compte du vent, des angles d'approche.

5. Jeux vidéo et 3D

Calcul de la distance entre deux objets dans un monde 3D pour détecter les collisions, mesurer la portée d'une arme, gérer le « clipping » des objets distants.

6. Photographie

L'angle de champ d'un objectif dépend de sa focale et de la taille du capteur, calculé par trigonométrie. Un 50 mm sur capteur full-frame couvre 47° (angle « standard »), un 200 mm seulement 12° (téléobjectif).

7. Distance de freinage en voiture

La trajectoire totale d'une voiture qui freine combine distance de réaction (horizontale) et distance de freinage (avec décélération). Pythagore intervient quand on calcule la trajectoire en virage.

8. Pente et inclinaison

Pour une pente de longueur réelle L sur une distance horizontale D, la hauteur H vérifie L² = D² + H². Inversement, l'inclinaison en % = (H/D) × 100, et l'angle = arctan(H/D). Notre calculateur de pente utilise ces formules.

9. Astronomie : parallaxe stellaire

Pour mesurer la distance des étoiles proches, on observe leur position à 6 mois d'intervalle (la Terre s'est déplacée de 300 millions de km dans son orbite). L'angle apparent de déplacement, combiné à cette « base » connue, donne la distance par trigonométrie. Le parsec (unité d'astronomie) vient de « parallaxe seconde d'arc ».

10. Phénomènes ondulatoires

Tout ce qui ondule (son, lumière, ondes radio, marées, courants alternatifs) se modélise par sin/cos. La transformée de Fourier — base de tout le traitement du signal — décompose n'importe quel signal périodique en somme de sinus et cosinus. Sans trigonométrie, pas de musique enregistrée, pas de radio, pas d'IRM, pas de WiFi.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?: Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Mathématiquement : a² + b² = c². C'est l'une des relations les plus utilisées en mathématiques et en sciences appliquées, et l'une des plus anciennes (connue des Babyloniens dès -1800).
Comment retrouver sin, cos, tan ?: Dans un triangle rectangle, en considérant un angle α (autre que l'angle droit) : sin(α) = côté opposé / hypoténuse, cos(α) = côté adjacent / hypoténuse, tan(α) = côté opposé / côté adjacent = sin(α) / cos(α). Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA. À retenir : sin² + cos² = 1 (identité trigonométrique fondamentale, conséquence directe de Pythagore).
Pourquoi Pythagore marche ?: Il y a plus de 400 démonstrations différentes. La plus visuelle : prenez un grand carré de côté (a+b). Sa surface vaut (a+b)². On peut le décomposer en 4 triangles rectangles de côtés a, b, c et un carré central de côté c. Donc (a+b)² = 4 × (ab/2) + c², soit a² + 2ab + b² = 2ab + c², donc a² + b² = c². CQFD. Cette démonstration géométrique est attribuée à Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.).
C'est quoi un triplet pythagoricien ?: Un trio d'entiers (a, b, c) qui satisfait a² + b² = c². Le plus connu : (3, 4, 5) — utilisé en bricolage pour vérifier qu'un mur est d'équerre. Autres : (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29). Il en existe une infinité. Tous les multiples d'un triplet primitif sont aussi des triplets : (6, 8, 10), (9, 12, 15), etc.
À quoi sert la trigonométrie au quotidien ?: Plus de domaines que vous ne pensez : (1) Construction et charpente (longueur des chevrons) ; (2) GPS (calcul de distance entre 2 coordonnées) ; (3) Écrans (la 'diagonale' annoncée — 55 pouces, 65 pouces — est l'hypoténuse calculée par Pythagore) ; (4) Navigation maritime et aérienne (route directe à vol d'oiseau) ; (5) Photographie (angle de champ d'un objectif) ; (6) Jeux vidéo et 3D (calcul des trajectoires, collisions) ; (7) Astronomie (parallaxe et distance des étoiles).
Différence entre Pythagore et la loi des cosinus ?: Pythagore ne marche QUE pour les triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, on utilise la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) : c² = a² + b² - 2ab × cos(C). Quand l'angle C vaut 90°, cos(90°) = 0, donc on retombe sur Pythagore : c² = a² + b². Pythagore est en fait un cas particulier d'Al-Kashi.
Et les fonctions trigo dans le cercle unité ?: Pour généraliser sin et cos au-delà des triangles rectangles, on les définit sur le cercle unité (rayon 1, centré à l'origine). Pour un point M sur le cercle correspondant à un angle α : cos(α) = abscisse de M, sin(α) = ordonnée de M. Ça permet d'avoir sin et cos pour tous les angles, y compris > 90° et < 0°. C'est la base de tous les phénomènes ondulatoires (son, lumière, électricité alternative, marées).