Calculer la norme (longueur) d'un vecteur — 2D et 3D
||v|| = √(x² + y² + z²). Avec visualisation 2D et calcul du vecteur unitaire (normalisé).
Visualisation 2D
Norme du vecteur ||v||
5
Formule (théorème de Pythagore généralisé)
||v|| = √(x² + y²)
√(3² + 4²) = √25 = 5.0000
Vecteur unitaire (normalisé)
(0,6 ; 0,8)
Même direction, longueur 1. Utilisé en 3D, physique, jeux vidéo.
La norme (ou « longueur ») d'un vecteur est sa magnitude. C'est aussi la distance entre l'origine et le point.
Cas d'usage
- Maths lycée : géométrie analytique, distance entre 2 points.
- Maths sup / prépa : algèbre linéaire, espaces vectoriels.
- Physique : magnitude d'une force, d'une vitesse, accélération.
- Jeux vidéo / 3D : direction de tir, déplacement, détection de collision.
- Machine learning : similarité cosinus entre vecteurs (embeddings).
Questions fréquentes
- Comment calculer la norme d'un vecteur ?
- En 2D : ||v|| = √(x² + y²). En 3D : ||v|| = √(x² + y² + z²). Exemple : v(3, 4) → ||v|| = √(9+16) = √25 = 5. C'est l'application directe du théorème de Pythagore généralisé. La norme représente la longueur du vecteur, ou la distance entre l'origine (0, 0) et le point (x, y).
- C'est quoi un vecteur unitaire ?
- C'est un vecteur de norme 1, qui indique uniquement la direction. On l'obtient en divisant chaque composante par la norme : v_unitaire = (x/||v||, y/||v||, z/||v||). Très utilisé en 3D / jeux vidéo / physique pour séparer direction et magnitude.
- À quoi sert la norme d'un vecteur ?
- Distance entre 2 points : ||AB|| = √((xB−xA)² + (yB−yA)²). Magnitude d'une force, d'une vitesse, d'un déplacement en physique. Test de collision en jeu vidéo (deux objets se touchent si distance < somme des rayons). Calcul d'angles entre vecteurs (formule du produit scalaire).
- Pythagore et norme, c'est pareil ?
- Oui, la norme en 2D EST le théorème de Pythagore. Si vous avez deux composantes perpendiculaires (x et y), elles forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la norme. C'est pour ça que la formule est identique : ||v|| = √(x² + y²) = c (avec a = x et b = y).
- En 3D ou en N dimensions, ça marche encore ?
- Oui. La norme euclidienne se généralise à n'importe quelle dimension : ||v|| = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²). En machine learning, on calcule régulièrement des normes en 100, 1000, ou 10 000 dimensions (vecteurs de mots, embeddings, etc.).